鲲鹏小数：计算教学的荣耀转身
糊涂论道：取舍间方显睿智
一个人的生命总是在“选择与平衡”中度过。一门数学，教会了我们怎样运用加法与减法；一段人生，让我们无数次真真切切的进行加减运算。得到是“加”，舍去是“减”，所有的取舍过程，既是“舍而取之”或“取而舍之”的选择过程，也是一种人生状态的平衡过程。这是一种做人的智慧，是一种崭新的思维方式，更是一种淡然的人生态度。
计算教学的荣耀转身
——对小学生计算能力弱化现象的剖析与突破
江苏许玲
【内容提要】
新课程改革十多年来，学生计算能力的弱化已是不争的事实，审视后课标时代，计算教学又重回我们的视野，在改革的十多年中，计算教学究竟是怎样的现状，出了什么问题，今后的计算教学的路又在何方，不禁引起我们深深的思考。
【关键词】计算能力 弱化 现状 剖析 突破
计算曾是东方数学的骄傲，它是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一，是一切数学规律发现的基础，是数学学科真正的“无冕之王”，可是新课程改革后这个一直被我们引以为豪的光荣传统渐渐被我们遗忘了，它成了大家开设公开课不愿触及的内容，它就像一件传世珍宝渐渐蒙上了厚厚的灰尘，老师不再关注它，只是完成任务似的把该教的计算法则传授给学生。改革十多年来，学生计算能力的下降已是不争的事实上，基础的薄弱给学生的其他数学学习活动带来了种种羁绊，学生在通往数学的道路上磕磕绊绊，步履艰难，忽视计算教学的后果给我们当头一棒，让我们不觉惊醒。
2011年新修订的《课程标准》中“数的运算”内容调整充分体现继承与创新的和谐统一。修改后的“数的运算”内容标准，彰显对优良传统的继承，一是提高运算能力的要求；二是充实数的运算内容。计算教学再次成为人们关注的焦点，实现了荣耀的转身。
【聚焦】学生计算能力弱化现象的清晰扫描
国际现状
80年代前后，美国参与“第二次国际数学教育比较研究（The Second International Mathematics Study）”，在参与的20多个国家和地区中，美国排最后几位，特别是韩国、日本和中国香港学生的成绩都好于美国。他们通过比较研究发现，成绩最好的国家或地区都有全国（或全地区）统一的大纲或课程，而美国没有。随后，美国于1989年出台了《学校数学的课程与评价标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），随着这些标准的相继发表，美国联邦政府花费了大量的财力、人力来培训教师，让他们熟悉标准中的观念，掌握其要旨，懂得如何付诸于教学实践。于是，人们期待美国数学教育有一个很大的提高。然而，事与愿违，“第三次国际数学和科学研究 （TIMSS）”的研究结果显示，美国学生的表现与人们的期望相距甚远。其中，八年级和十二年级的测试成绩远远低于其他国家，四年级也只达到了国际平均水平，因而批评意见纷沓而至。纽约大学的FranCurcio教授研究得出了五大原因，首当其冲的便是“忽视基本计算”。
无独有偶，无锡市侨谊实验中学的王元洁老师赴英国考察初级教育后写的调查报告《“另类”的英国教育》中提出了“提高运算能力”也是英国教育界头疼的问题。我校王亚老师赴英国考察学习归来给我们讲了这样一个故事：一天，她在一个小摊点上卖东西，这时，一位顾客来换购商品，他先把之前买的东西放回，然后选了一件合意的东西，跟摊主结账时，摊主是这样做的：先把之前买东西的钱先退给顾客，顾客再把新选东西的价钱给摊主。英国人的计算能力由此可见一斑。
国内现状
2010年《江苏教育》第一期刊登了著名特级教师徐斌老师策划的专题研究文章《不能再下降的口算能力》。徐老师在一年级数学教学以及调研中常常发现，一年级新入学儿童的加减法口算能力很不平衡，这给我们的数学课堂教学带来了很多值得思考的问题。为此，徐老师做了专项调查，从徐老师的调查统计可以发现：一年级新入学儿童10以内加法的口算能力很强，10以内减法的口算能力比较强，但20以内进位加法的口算能力比较弱，20以内退位减法的口算能力很弱。尤其是2008年测试中，退位减法0～5分的学生占到了48.42％，这表明2008年有将近一半的学生几乎不会计算20以内退位减法。
最近，我校也对低年级学生做了一次口算测试。测试内容：一年级100以内加减法，二年级是表内乘除法，三年级包括两位数加减两位数、两位数乘整十数和几百几十除以一位数，每个年级50道口算，时间是10分钟。从反馈情况看，在规定的时间内，每个年级都有少部分学生没能完成，而且个别班级口算正确率低于90%。
可见，计算能力弱化是一个“国际化”的现实问题，是摆在我们所有人面前的难题，透过现象看本质，造成这种状况的原因究竟有哪些呢？
【剖析】学生计算能力弱化原因深度解读
诘问一：“计算器”VS“基本计算”？
印第安纳大学（1ndiana University）的Frank Lester教授列出的美国现行数学教育中仍存在以下的问题或挑战，首当其冲的便是“确定什么是数学真正基础的问题”。“回到基础（Back to the basics）”与“朝向将来的基础（Forward to What Will bebasic）”两派激烈之争或许是这一挑战最鲜明的例证。其中有学者更是直言：“为什么要浪费宝贵的时间去教学生解决那些只需花9.95美元的计算器就可解决的问题？”
随着计算机威力的不断增强，数学的某些部分变得不那么重要，而另一部分又变得更加重要。因此不少人认为：对本世纪中期的许多人来说，精通算术可能是足以应付，而今天一个其数学本领仅限于计算的人，几乎没有什么可贡献于当今的社会，因为廉价的计算器就能够把事情办得更好。
当前，我国的现状也是如此，甚至连很多小学数学老师也认为有关计算的内容没必要花太多的时间去教学。教师的理念尚且如此，学生的计算能力的培养又能好到哪儿去呢？
诘问二：“情境导入”VS“铺垫迁移”？
新课程带来了新理念，也带来了新的教学流程，由原来的“复习——导入——新授——练习——小结”变为“创设情境——感知体验——对话交流——应用拓展”。传统教学流程中第一环节是复习，而复习大部分是有计算的，这样学生每天的学习也就从计算开始。新课程实验后，问题情境取代了复习。教师在备课时，考虑最多的是如何创设情境、设计探究活动，而对何时进行计算训练鲜有思考。这样我们的数学课堂缺失了计算练习的机会，计算渐渐淡出我们的视野。而课堂上没有机会去练习，那么很难指望学生会在课后练习，因此也就造成了计算能力的下降。
【案例】《异分母分数加、减法》
片段一：创设情境，将异分母分数加减法与“种田”的情境牵强附会地进行整合。标签式的教学情境，将数学的生活化简单的理解为：数学+生活。
片段二：课的开始复习了整数、小数以及同分母分数加减法等上位知识，让学生明确只有计算单位相同才能直接相加，再让学生讨论异分母分数的加减法，实现了基本知识、基本技能的迁移。
简析：比较两个教学流程，孰优孰劣可谓一清二楚。
诘问三：“算法多样”VS“有效训练”?
新课程实施以来，很多教师在教学中为了追求课堂的精彩总是想方设法努力体现算法多样的局面，却往往忽视了计算的意义基础，忽视了计算需要在掌握方法的基础上进行有效练习才能达到熟练。结果计算教学该“重视”的并没有被重视，而“提倡”的却挤占了大量时空。“提倡”与“重视”的本末倒置造成计算有名无实，方法得不到及时巩固优化，能力自然得不到有效提升，由此也就造成计算能力的下降。
【案例】《两位数加减两位数口算》
进位加法“25+36”的算法。
①先算5+6=11，十位上2+3=5，再进1变成6，是61。
②先算十位，2+3=5，再算个位，5+6=11，最后5+1=6，是61。
③25+36=25+34+2=59+2。
④25+36=25+30+6。
⑤25+36=25+35+1。
⑥25+36=25+3+33。
⑦25+36=20+36+5
⑧25+36=24+36+1
⑨25+36=23+36+2
简析：在教学的过程中，教者认为“算法越多越好”，过于追求算法的数量。所以在教学时，一定要把凡是学生或老师能想到的一些算法都展示出来，结果在课堂中花了太多的时间去挖掘各种算法，挤占了学生有效训练、形成技能的时间，影响了其他教学目标的达成。
诘问四：“结果”VS“过程”?
当前实际教学中不少老师对计算教学只关注结果而不关注过程。很多老师都有这样的一种想法，只要学生能计算结果正确就行，至于是用什么方法得出的，计算中应传承渗透什么思想等并不去予以关注和重视。这样自然也就造成计算方法与思想的流失，这种异化的计算教学直接导致学生对计算兴趣的减弱，造成学生计算能力的下降。
诘问五：“方法”VS“习惯”?
训练时重量轻质，忽视习惯培养。良好的习惯有助于提高学生的学习能力，而不良答题习惯经常会引发学生计算错误。目前很多教师在计算训练时忽视学生良好学习习惯的培养。学生练习时，听题、读题、抄写答数往往不够仔细，经常把1写成7，把6看成9，把5写成3等，或者看错运算符号，把“+”看成“÷”等等。我们不能把这种错误简单归咎于“粗心”或“马虎”，而应该重视学生学习习惯的养成。
【突破】让学生计算能力扎实灵动
一、 直面现实，理性反思 —— 辩证统一 —— 呼唤计算荣耀转身
（一）基本计算的重要性
小学生的计算能力的培养指的是基本计算，从计算教学的编排可以发现，现行教材中一些复杂的计算已经得到了删减，《九年义务教育小学数学教学大纲》指出：“笔算加减法经三、四位数的为主，一般不超过五位数；笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步。珠算只学加减法。”“在低年级基本口算的基础上，中、高年级要适当加强口算训练。”“分数计算以分子、分母比较简单的和大部分可以口算的为主。”。而人类研究计算机的初衷是为了解决学科专业知识中的复杂计算，把人类从复杂计算中解脱出来，提高工作效率，腾出时间研究计算机无法完成的的其他工作。
学习基本计算的过程是培养和发展学生逻辑思维能力的过程。计算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入、建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、感性到理性的过程。学生把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，学生学习、理解和掌握计算的有关内容能促进学生思维能力的发展。
【案例】
1、在“试商”的过程中渗透“假设”的思想方法。
2、在“调商”的过程中渗透 “比较”的思想方法。
3、“用字母表示计算公式”渗透“符号化”的思想方法。
4、“加法交换律、乘法交换律”渗透“类比”的思想方法。
5、“运用倒数计算，如甲÷乙=甲×1/乙”，渗透“转化”的思想方法。
6、“简便计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=?”，渗透了“数形结合”的思想方法。
7、“平均数的计算”渗透了“统计”的思想方法。
8、“解方程”渗透了“代换”的思想方法。
9、“乘法分配律的推导和应用”渗透了“数学模型”的思想方法。
10、“加法与减法、乘法与除法”渗透了“对立统一”的思想方法。
……
简析：计算器只能呈现给学生计算的结果，以上所列举的一些计算内容中蕴含了多种数学的思维方法，这是计算器无法替代的，
（二）合理使用计算器
小学是儿童学习日常生活中常用的数学技巧的地方．早先，店主算术是一个合适的目标，因为对多数人来说，日常生活中的数学并不意味着比算术更多．现在，情况不是这样了，计算器完成着日常生活中大部分的算术问题，就像爱与恨构成了古希腊戏剧一样，真、善、美与功、利、用左右着数学的研究。它们一起决定了什么该算是数学能力，即数学教育的目标。
合理地使用计算器是数概念的组成部分。应让儿童在整个学校功课中使用计算器，正如成年人在其一生中要用计算器一样。更重要的是，儿童应学会什么时候用它们，什么时候不用它们。他们必须在与计算器打交道的经验中学会什么时候应该估算，什么时候该寻求确切的答案，如何估算答案以判断计算器答案的合理性，当手头上没有笔与计算器时，会用心算解决筒单的问题。不动脑筋地使用计算器同不动脑筋地笔算一样糟糕，但合理地使用计算器能够在每个孩于的心灵中滋长起现实的、有效的数概念。
作为一线的老师，要从理论的高度认识并理解基本计算教学的重要性，理清“基本计算”与“计算器”之间的关系，把计算器作为学生学习计算、探索计算规律的重要手段，充分发挥其辅助功能，在此过程中既让学生学会计算器的使用方法，又提高了学生探索规律的积极性。
【案例】《用计算器探索积的变化规律》
1、用计算器计算36×30的积。
提问：36、30在这个乘法算式中叫做什么？1080又叫做什么？
猜想：如果其中的一个因数不变，另一个因数乘一个数，得到的积可能会有什么变化？能不能来猜一猜？
出示：
因数 | 因数 | 积 |
36 | 30 | 1080 |
36 | 30×2 | |
36 | 30×10 | |
36×8 | 30 | |
36×100 | 30 |
2、通过对问题的观察，我们提出了自己的猜想：一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。（板书）
3、用计算器计算结果，验证自己的猜想。
简析：用计算器计算的目的是使学生把精力集中到探索规律上来，直接提出乘法计算中可能存在的规律。
二、创新传统，巧妙融合——解读教材——计算教学走向生本
（一）两种模式之间的关系：
新旧两种模式之间并不冲突，新课程理念下的教学模式能激发学生的学习兴趣，让学生在情境中理解算理、掌握算法；旧的模式更注重知识间的内部联系，强化训练以提高技能。如果用古代的兵器来描述二者之间的关系，我想这两种模式不是“矛”与“盾”，互相对立的，它们更应该是计算教学的“双刃剑”，正如车之双轮，鸟之双翼，互相依存，缺一不可。
（二）在实践层面上该如何做：
1、从儿童的年龄特点考虑
对于低年级的学生来讲，他们年龄小，注意力时间较短，思维比较形象化，因此采用情境导入的方法比较好。对于中高年级学生来讲，注意力较持久，有一定的抽象思维和知识基础，可以多运用知识迁移的方法，利于学生形成计算知识的体系。
2、从知识本身考虑
对于学生先前获得的认知结构（即上位知识）的学习可以多采用情境法，如果将小学数学的计算教学的内容仔细分析，不难发现自然数的计算是基础。在自然数的加减乘除的四则计算中，又是以两位数加减两位数、两位数乘一位数、两位数除以一位数为基础。再追溯，20以内的自然数的加减法、表内乘除法具有特别的重要性，是数的计算这一板块最为核心的内容，再缩小到小学里学的计算内容的域地进行考察，20以内的进位加法其核心内容是“9加几”的计算。这里所指的“核心知识”就是“上位知识”。对于“9加几”的教学要采用情境法。
对后继知识（即下位知识）的学习 如：两位数加一位数、两位数加两位数等则可采用“迁移法”。
3、有效融合
当然，创设生动、有效的情境自新课程改革以来老师们一直勤于探究的话题，直至目前一线老师们仍乐此不疲，毕竟生动的情境确实可以弥补枯燥的计算学习，但练就扎实的计算能力，也不能浮于表面，复习、练习这是计算教学的光荣传统，我们也不能丢弃，因此，计算教学的最高境界是将两种模式有效的融为一体，教者要在儿童与计算之间架设好一座彩虹桥。
【案例】《三位数除以两位数（用四舍五入法试商）》
开课是先复习整十数除三位数，还是先创设教学情境，如何引入新课，成为首当其冲的问题。本课教材已经创设了教学情境，以情境引入教学也是顺理成章的选择。但教学在实际教学时我左思右想，感到“两位数除三位数”以“整十数除三位数”作为基础，从数学知识的内在逻辑出发，需要安排适当的复习铺垫。于是，实际教学时我采取了如下安排：“同学们，前面我们已经学习了三位数除以两位数中的第一种情况，除数是整十数的。现在老师来考考你们。”随即出示几道除数是整十数的除法式题，让学生计算并说说是怎么想的。接着再出示问题情境。
好处：一是集中指向数学内容，使教学连贯、紧凑；二是便于检查学生实际掌握知识的状态，为新课教学扫除障碍。数学教学倡导教学情境设计不等于课堂教学总得以情境开路。进入新知教学时，再呈现教材创设的问题情境，将复习铺垫与情境创设有效融合在一起，效果更佳，何乐而不为呢？
三、注重过程，溯本求源——厘清算理——着力夯实核心知识
小学数学中的“理”，就是原理、道理、算理。“理”是方法的根据、方法的灵魂，学生在学习中出现的错误，显性的常表现为方法上的错误，究其深层原因，是道理、算理理解上比较模糊甚至错误造成的。
小学生的数学学习是一个循序渐进、螺旋上升的过程。教师的教学既要承前，还需启后，否则学生数学学习的连续性和理解的深刻性就会受到影响。因此，教师在教学某一个内容时，都要考虑如何组织和实际，才能更好地适合后续学习的需要。
【案例】《小数加减法》
教师让学生总结计算方法（数位对齐）后，进一步提出问题：为什么小数加减时需要相同数位对齐？引导学生在讨论中进一步认识到：相同数位对齐实际上是多少个10、多少个1、多少个0.1、多少个0.01……对应相加减。如果不是相同的计数单位，就不能直接相加减。这样的认识既加深了对小数加减计算方法的理解，也为后面学习异分母分数加减法打下了伏笔（需要化成同分母分数相加）。
简析：“算理”是学生走向“算法”的桥梁，是学生学习“算法”的知识基础，而“算法“是学生学习的中心任务。因此，对于计算中核心知识的算理的理解掌握显得尤其重要。
四、有效训练，拓展延伸——强化技能——问题解决机智灵动
前苏联数学家奥加涅相说：“必须重视，很多练习潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性。”当下，我们对习题的教学不能只停留于就题论题、照本宣科上，而要举一反三、适度拓展，在充分研读教材的基础上，深入挖掘习题的丰富内涵，有度、有机、有效地用足习题、用活习题、用好习题，使学生建构起更加灵活、更为宽广的知识体系，更有助于学会思考、学会学习、学会创造。
（一）扩展练习的宽度
【案例】四年级下册《练习七》
在教学这一组练习时，我没有满足于学生答案的准确，而是在每题结果出来后，都追问一句：“你是怎样想的？”这简单的一问，课堂上立刻绽放出学生思维的火花。对于14×15=210这道题，不同层次的学生说出了他们不同的方法。
1、用竖式计算。
班上有2名同学是用这种方法做的，这两位同学从平时学习情况划分属于后进生这类的，思维较直观化，他们明显没有注意到练习题是巩固“积的变化规律”
的，孤立了这道题，割断了题组练习的本意。
2、简便计算
14×15=7×（2×15）=7×30=210
班上有1名学生是这样做的，而且还是一位数学经常得满分的女同学。很显然，她也没有注意到题目与题目之间的联系。
3、运用积的变化规律推算
因为14×3=42，14×15中第一个因数14与上面一道算式相同，另一个因数15是3的5倍，运用“积的变化规律”可以用42×5得到210，所以14×15=210。
这是老师想要的最佳算法，班里有44名同学是这样做的。
（二）、延伸练习的深度
【案例】《乘法分配律》
1、根据运算定律，在（ ）填上适当的数。
①(10＋7) ×6=（ ）×6＋7×（ ）
②8×（125＋9）=（ ）×125＋（ ）×9
③7×48＋7×52=（ ）×（48＋52）
2、（1）34×10＋27×10＋39×10可不可以用乘法分配律？
（2）24×8—4×8=（24—4）×8吗？
3、聪明的小判官：判断下列各题是否应用了乘法分配律
（1）125×16=125×8×2 （ ）
（2）（200+2）×35=200×35+2 （ ）
（3）104×66=（100+4）×66=100×66+4×66 （ ）
（4）305×32=（300+5）×32=305×32 （ ）
（5）176×36+36×24=36×（176+24） （ ）
（6）16×54+54×54不能用乘法分配律 （ ）
（7）（400—6）×13=400×13—6×13 （ ）
（8）9×（a—b）=9×a—9×b （ ）
（9）爱×（数+学）=爱×数+爱×学 （ ）
4、用简便方法计算下列各题。
（8＋4）×25 34×72＋34×28
103×56 98×25
简析：从例题中基本乘法分配律的原型（a+b）×c=a×c+b×c逐渐拓展为（a－b）×c=a×c－b×c ，从左到右到从右到左的变式练习，接近把整百数进行拆数后简算等练习拓宽了乘法分配律的应用，加深学生对乘法分配律的理解。
五、另辟蹊径，培养习惯——自悟催长——情感智慧和谐共生
俗话说：“积一千，累一万，不如养个好习惯。”著名教育家叶圣陶指出：“教育是什么？简单一句话，就是习惯的。”习惯的好坏直接影响学生是否准确。在多年的教学实践中，我们发现，许多学生在正确理解算理并掌握方法的基础之上，但在中仍常出现错误，而且还会一犯再犯，究其原因，笔者认为主要是因为没有一个良好的习惯，因此学生养成良好的习惯尤其重要。
（一）四步法
习惯不妨从“一看、二想、三算、四查”入手。1.校对的习惯。计算都要抄题，要求学生凡是抄下来的都校对，做到不错不漏。 2.审题的习惯。这是计算正确、迅速的前题。3.养成仔细计算、规范书写的习惯。要求按格式书写，字迹端正、不潦草，不涂改、不粘贴，保持作业的整齐美观。 4.养成估算和验算的习惯。
（二）错题集
培养学生良好的计算习惯，我校提倡的错题集对这方面有很大的帮助。恩格斯有这样的理论：“无论从哪方面学习都不如自己所犯错误的后果中学习来得快。” 我们要求每一个同学，对每天的练习和作业等出现的自己做错的题目，登记在自己的错题集上。在多年的数学教学实践中，我们发现每一届学生在学习同一教学内容时，出现的错误都惊人的相似。而每一届老师对学生所出现的这些错误只做到及时订正而已，缺乏搜集、分析和利用，导致这些错误年复一年地延续，师生做了大量的无用功。所以我们老师也要有一本“数学错题集”，这样有了前车之鉴，在以后的教学中就可以少走弯路。可谓是“妙用错题集，以错启思，错中生巧”。
（三）草稿本
如果你注意观察会发现很多学生的草稿非常的凌乱，毫无规则，有的甚至把手，桌面等等当成了草稿本，如在开始学习四则运算时通常我们要求都是递等式，我们可以要求学生把竖式也打在递等式下面，以便了解学生哪些计算写了竖式，从而进行有效指导。平时我们还在测验中对试卷的卷面与草稿的书写进行评分。我们常常给卷面评分，往往忽略给学生的草稿评分，其实草稿才是计算结果的源头，所以大家不妨给学生的草稿本来打打分，组织一些优秀学生的草稿本展示等活动，抓实了学生计算的源头，提高学生的计算品质，提升学生的计算素养。结语
新修订的2011版的数学课程标准让计算教学重回我们的视野，让我们再次深刻认识到计算教学的重要性，但是如何有效提高学生的计算能力，还要靠一线教师在实际教学中不断的践行，我们应重新赋予计算教学应有的魅力，让孩子们在计算学习中获得智慧的启蒙、素养的滋润、思维的提升。
【参考文献】
⑴全美数学教师理事会.《美国数学教育的未来的报告》[M].人民教育出版社.2004.
⑵全美数学教师理事会.《美国学校数学教育的原则和标准》[M].人民教育出版社.2010.
⑶郑毓信.《国际视角下的小学数学教育》[M].人民教育出版社.2010.
⑷徐斌.《不能再下降的口算能力》[J].江苏教育2010年第1期.